从简单情况入手

常州市实验小学       胡赟勍

[题    目]   请计算出345670²－345669×345671的正确结果

[分析与解]   看了这道题目就知道，用硬算是肯定不行的，345670²，至少也要12位呀！通过仔细观察可以发现，345669、345670和345671是三个连续的自然数。题目是要求我们用中间一个数的平方减去前后两个数的乘积，我们能不能用三个小一点但也是连续的自然数来试试呢？先从1、2、3开始，计算2²－1×3=4－3=1。再选4、5、6，计算5²－4×6=25－24=1。然后选9、10、11，计算10²－9×11=100－99=1，通过三次计算，我们可以发现计算结果同样都是1，但是，是不是所有符合规定的算式，它们的计算结果都是1呢？我们可以再挑些大一点的数来验证一下：

          100²－99×101=10000－9999=1

          1000²－999×1001=1000000－999999=1

          10000²－9999×10001=100000000－99999999=1

……

多次的试验可以使我们有了这样一个大胆的推想：345670²－345669×345671的结果依然是1。也就是：a²－(a+1)×(a－1)=1，利用平方差公式：(a+1)×(a－1)= a²－1，很快得出结果是１。

从简单情况入手看来是解决复杂问题的法宝。

联系实际  巧用数学

常州市实验小学         朱润凯

前几天,我在一本书上看到这样一道有趣的题目,大意是说某人去比萨店里购买一12英寸的比萨饼。过了一会儿，服务员走过来，用非常抱歉的语气对他说：“先生，对不起，您要的12英寸的比萨没有了，能不能帮您换一个9英寸的和一个6英寸的？”这道题目问的是“如果是你，你会答应去换吗？为什么？”

初看一下，9+6 ＞12，使人很容易直观地认为一个9英寸的加上一个6英寸的一定大于一个12英寸的比萨。可转念一想，怎么可能出这么简单的问题呢？我低头一琢磨，比萨饼的厚度都是相等的，要看划算不划算，这不就是比较两个小圆面积之和与一个大圆面积谁大谁小吗？！

我立即拿起笔计算起来：9英寸比萨的半径是4.5，6英寸的半径是3，12英寸的半径是6。两个小圆面积=∏（4.5×4.5+3×3）=29.25∏；大圆的面积=Л×6×6=36∏。很显然，36∏＞29.25∏，所以，一个12英寸的比萨比一个9英寸加上一个6英寸的比萨的面积要大，故不能答应换。

这是一道与生活息息相关的题目，在现实生活中，某些别有用心的人往往利用人们直观的心理，设下种种圈套，这就要求我们理论联系实际，利用科学武器，识破他们的阴谋，使得这些鬼把戏“原形毕露” ！

巧用方程解疑难

常州市实验小学  马一先

     第773期A4版的《依次枚举》一文是769期“挑战赛跑显身手”《游戏与数学》的解法。

【问题】在一些小学里曾经流行着一种“石头、剪子、布”的游戏，伸出一个拳头表示“石头”，伸出食指、中指表示“剪子”，伸出一个手掌表示“布”。游戏规则是：在两位同学之间进行，两人同时口念“石头、剪子、布”，当一人念到“布”时，两个同时出手。“布”赢“石头”，“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”。现在我们约定，“布”赢“石头”一次得7分，“石头”赢“剪子”一次得5分，“剪子”赢“布”一次得2分。

小华和某同学游戏时，赢了30次，得126分。其中“布”赢“石头”9次。请算一算，小华的“剪子”赢“布”，“石头”赢“剪子”各几次？文章采用了列表的方法，实在有些费时费力。我向大家介绍一种简便的方法——用方程解答。

解：设得5分X次，则得2分为（21－X）次。

    因为  5分次数＋2分次数=总分（126）－7分×9次

    得方程式  5X＋2×（21－X）=63

这样很容易算出得2分的是21－7=14（次）

所以本题的答案就是：“剪子”赢“布”14次，“石头”赢“剪子”7次，且答案是唯一的。

巧用方程解题

常州市实验小学  卞嘉楠

   在做作业过程中，我遇到这样一道题：在一个长24分米，宽9分米，高8分米的水槽内，注入4分米深的水，然后投入一个棱长6分米的铁块。问水位上升了多少分米？我没仔细看，提起笔就写下（6×6×6）÷（24×9）=1（分米）。回过头来再看时，才发现那铁块可能并没有全部都浸在水中，因为铁块高为6分米，而水深原来只不过4分米而已。于是我利用方程来解这道题，设水位上升了X 分米，列出这样一个方程：                                                                              24×9×X=6×6×（X+4）

216×X=36×4+36×X

180×X=144

X=0.8

   后来经过仔细思考，我又想到了一个更简单的方法：（24×9）÷（6×6）=6这个算式，算出了水槽底面积是铁块底面积的6倍。这样使我想到了铁块的高是6份，水位上升1份。因此我列出这样一个方程：      

（4+X）÷X=6

    4÷X+1=6

      4÷X=5

          X=0.8

可见，有时用方程来解题更为巧妙。

推 理 和 巧 解

常州市实验小学         蒋哲君

有一天，我偶尔翻看报纸，上面有一道我不屑一顾的题目。是说一个人用100元钱去小店买一个25元的小球，然后，因为找不出零钱，小店老板所以把那100元去肉铺换零钱，再把75元找给那人。那人走后肉铺老板说那100元是假币，最后，小店老板又把100元还给了肉铺老板，问小店老板亏几元？

看似一道简单的推理题，可未必每个人都能想明白。我拿了钱来试了之后才知道是100元，可这方法也太蠢了吧。那天，我和妈妈争了好长时间，她说亏75元，我说亏100元，她说那人也就是把一张假币给了小店老板，所以老板只是把75元找给他，自己得25元，肉铺老板把100元要走时，他自己可以用上那25元，所以只亏75元。

我认为100元假币就等于没有用，也就是小店老板白白送了他75元与一个25元的小球，也就是100元。因为假币等于什么也没有，肉铺老板也没赚也没亏。

我和妈妈各有各的理，不过对错并不重要，如果这题没提到假币的话，就是一道小儿科的题，还有假币也是一个陷阱，根本不用去考虑它。有时条件并不都可以帮助你运算，有时甚至会让你头脑卡住！

周全的考虑

江苏常州市实验小学  郑锦波

今天，我在看小学生数学报第751期A1版的《分类枚举》这一文时，发现作者少了一种解法。

〔题目〕从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数中取出3个，使它们的和是不超过10的偶数，共有几种不同的取法？

在〔分析与解〕中，作者按奇偶性的两种不同情况进行了分类枚举。

一、 3个数全偶（0、2、4），（0、2、6），（0、2、8），（0、4、6）4种。

二、 3个数中一偶两奇

1、 偶数取0时（0、1、3），（0、1、5），（0、1、7），（0、1、9），（0、3、5），（0、3、7）6种；

2、 偶数取2时（2、1、3），（2、1、5），（2、1、7）3种；

3、 偶数取4时（4、1、3），（4、1、5）2种；

4、 偶数取6时（6、1、3）1种。

共4+（6+3+1）＝16(种）取法。

我伊始认为同作者的解法，可当我又枚举了一次后，发现在作者解法中的第二类第2小点，偶数取2时遗漏了一种：（2、3、5）2+3+5＝10，符合题意，这样一来，就该有4+（6+4+2+1）＝17（种）取法了。

做完这题，我想：以后做到类似的开放题时，必须仔细寻找出每一个答案，在解答问题中考虑要周全。

                                  指导老师  刘萍

分三种情况考虑