［题目］甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，第一次相遇时离A地12O米，相遇后，他们继续前进，到达目的地后立即返回，在距A地15O米处再次相遇。求A、B两地的距离。

［分析与解］这道题如果从速度、时间和路程的关系来分析，会感到缺少条件。我们可从整体来分析题目的数量关系：甲乙两人同时出发，相向而行，他们第一次相遇时，共行了A、B两地的1个全程；两人从出发到再次相遇，共行了3个A、B两地的全程（如下图）。

两人共行1个全程，其中甲行的路程是12O米，那么两人从出发到再次相遇共行了3个全程，则甲共行了12O×3＝36O（米），这时甲距A地还有15O米，如果甲再行15O米，则甲共行了2个全程，所以A、B两地的距离是：

（120×3＋15O）÷2＝255（米）。

卡尔·弗里德里奇·高斯（1777－1855）是德国数学家、物理学家和天文学家，他对人类科学发展的影响，可以与阿基米德、牛顿并列。高斯出生在一个贫苦的家庭里，父亲原本不打算让他上学，但高斯很小就表现出在数学方面的才能。他10岁那年，数学教师布特纳要求学生求出1到100这一百个自然数的和。不一会儿，高斯就把算出了准确答案的石板交给了老师。在这之前，老师从未教过学生计算等差数列方面的知识，这就是著名的“高斯问题”。高斯年轻时就在数学方面作出了不少贡献，11岁发现二项式定理，15岁读完牛顿等数学家的著作，掌握了牛顿的微积分理论，18岁进入大学，19岁发现了用圆规和直尺进行正十七边形的作图方法，解决了悬而未决的几何难题，22岁证明了代数学基本定理，即每一代数方程必具有一个复数形式的根。24岁时，他继续证明了算术基本定理，即每个自然数均可表示为素数乘积的形式，而且这种表示方式是唯一的。他在超几何级数、复变函数论、统计数学、椭圆函数论等方面都有重大贡献。面对这一系列成就，他却谦虚地说：“如果其他人也像我那样持续不断地深入钻研真理，他们也会作出我所作的那种发现。”

如果我们今天也来解答那个著名的“高斯问题”：1＋2＋3……＋98＋99＋100＝？我想同学们大概不会采取把一百个自然数连续相加求和的办法吧，因为这个办法既不聪明又容易出错，更谈不上有什么计算技巧了。

求1至100这一百个自然数的和，可以采取头尾两数相加的办法：1＋100、2＋99、3＋98、4＋97……这样能得到50个101，用101×50便能迅速地求出它们的和是5050。当然还有其它的解法，如果我们用凑整百数的办法：1＋99、2＋98、3＋97、4＋96……便能得到49个100，再用100×49的积加上中间的数50与最后的数100，也能求出这一百个自然数的和。

如果我们展开想象的翅膀，可以把这一百个连续的自然数视为一个梯形，它的上底是1，下底是100，高是100。根据求梯形面积的公式：S＝（a＋b）×h÷2，这一百个自然数的和＝（1＋100）×100÷2＝5050。如果我们能找到这个梯形的中位线，即这一百个自然数的中间的一个数，便可以根据梯形的另一个求面积的公式：S＝m×h，这样一步就能求出得数。1至100的中间数应该在50与51之间，它是50.5，这一百个自然数的和＝50.5×100＝5050。啊！这个算法太妙了！假若德国数学家高斯还活在世上的话，他一定会坚起大拇指说：“中国的小学生真棒！”

计算的时候要认真审题，讲究计算技巧，使计算方法既正确又迅速，既合理又灵活。72×35÷36、42×54÷18，这两道题如果按照运算顺序，应该先算乘后算除，而乘或除都需要用竖式来进行计算。通过审题发现，这两道题改变其运算顺序，是不会影响计算结果的。将72×35÷36改为72÷36×35，将42×54÷18改为42×（54÷18），只需两次口算就能迅速地计算出它们的结果：72÷36×35＝2×35＝70，42×（54÷18）＝42×3＝126。再如125×12÷20，我们可以将原式改写为125×＝125×＝75。这样的例子有很多，只要我们平时重视计算的技能与技巧的培养与训练，我们也会变得越来越聪明的。

人教版九年义务教育六年制小学数学第八册教材上有这样一道应用题：

“新镇小学三年级有4个班，每班40人；四年级有3个班，每班38人。三年级和四年级一共有多少人？”

解答这道题我们是这样思考的：要求三年级和四年级一共有多少人，先要根据已知条件求出三年级和四年级各有多少人。列算式是：

　4O×4＋38×3

＝160＋114

＝274（人）

如果把这道题的第一个条件改成“三年级有3个班”，用上述的思考方法来解答这道题，列式为4O×3＋38×3。除了这种方法，解答这道题还可以这样来思考：即先求出三年级1个班和四年级1个班人数的和，再求出三年级和四年级一共有多少人。列成算式是：

　（4O＋38）×3

＝78×3

＝234（人）

前一道题和后一道题都是求三年级和四年级一共有多少人，因为在前一道题的己知条件中，三年级班级的个数与四年级的个数不相同，因此在通常情况下。只能用一种方法来解答；而在后一道题的已知条件中，因为三年级和四年级班级的个数相同，因此可以用两种方法来解答。

但如果我们采用假设的方法来进行思考，前一道题的解答方法就不止一种了。我们可以根据后一道题第二种解法的解题思路来解答前一道题，也就是假设三年级也是3个班，那么三年级和四年级一共有的人数就是（4O＋38）×3，因为实际三年级有4个班，所以三年级和四年级一共有的人数应该是（4O＋38）×3＋4O。

同样，我们也可以假设四年级有4个班，那就可以先求出三年级4个班和四年级4个班共有的人数，再减去四年级互个班的人数，就得到三年级和四年级一共有的人数了。列式为

（40＋38）×3＋4O。

如果我们假设三年级每个班是38人，那么这道题还可以这样列式计算：38×（4＋3）＋（4O－38）×4。请同学们想一想：

38×（4＋3）求出的是什么？为什么还要再加上（40－38）× 4呢？

把上面的问题想通后，再想一想，如果假设四年级每个班是4O人，这道题还可以怎样解答呢？请你试一试。

当然，对这道题来说，用假设的方法来进行思考，计算并不简便，但如果我们经常能运用假设法思考问题，就可以拓宽我们的思路，有利于解题能力的提高。